Cho hai biểu thức A = x + 3 căn bậc hai của x − 2 và B = (căn bậc hai của x − 1) / (căn bậc hai của x + 2) + (5 căn bậc hai của x − 2) / (x − 4) với x > 0, x khác 4. a) Tính giá trị của biể
a) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 4\)) vào biểu thức \(A\), ta có:
\(A = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = \frac{{12}}{1} = 12\).
Vậy khi \(x = 9\) thì giá trị của biểu thức \(A\) bằng \(12\).
b) Với \(x > 0,\,\,x \ne 4\), ta có:
\(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\)
\[B = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\]
\(B = \frac{{x - 2\sqrt x - \sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x + 2)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\).
Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 4\).
c) Với \(x > 0,\,\,x \ne 4\) ta có: \(P = \frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}} \cdot \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}\).
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x > 0\) và \(\frac{3}{{\sqrt x }} > 0\).
Ta có với \(a \ge 0;\,\,b \ge 0\) thì \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\).
Suy ra \(a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\) hay \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(a = b\).
Áp dụng hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{3}{{\sqrt x }}\), ta được: \(P = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x \cdot \frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 \).
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}\) hay \(x = 3\) (thỏa mãn).
Vậy biểu thức \(\frac{A}{B}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(2\sqrt 3 \) khi \(x = 3\).