Cho hai biểu thức A = √ x − 2/√ x + 9 và B = 3 √ x − 6x − 2/√ x + √ x − 3√ x − 1/2 − √ x với x > 0 , x ≠ 4 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 1 . 2) Rút gọn biểu thức B .
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 1\).
Thay \(x = 1\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0,\,x \ne 4\)) vào biểu thức \(A\), ta có:
\(A = \frac{{\sqrt 1 - 2}}{{\sqrt 1 + 9}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 9}} = \frac{{ - 1}}{{10}}\).
Vậy \(A = \frac{{ - 1}}{{10}}\) khi \(x = 1\).
2) Rút gọn biểu thức \(B\).
\(B = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)
\( = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
\( = \frac{{3\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{3\sqrt x - 6 + x - 3\sqrt x - 2\sqrt x + 6 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
3) Cho biểu thức \(P = A.B\). Tìm \(x\) là số nguyên lớn nhất để \(P < \frac{1}{2}\).
Ta có: \(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 9}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}}\)
Xét \(P - \frac{1}{2} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 9}} - \frac{1}{2} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 9} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}}\)
Để \(P < \frac{1}{2}\) thì \(P - \frac{1}{2} < 0\).
Suy ra \(\frac{{\sqrt x - 11}}{{2\left( {\sqrt x + 9} \right)}} < 0\)
Mà \(2\left( {\sqrt x + 9} \right) > 0\), với \(x > 0,\,x \ne 4\)
Do đó \(\sqrt x - 11 < 0\)
Vì vậy \(\sqrt x < 11\)
Khi đó \(x < 121\).
Vì \(x\) là số nguyên lớn nhất nên ta chọn \(x = 120\) (thỏa mãn điều kiện \(x > 0,\,x \ne 4\))
Vậy \(x = 120\) thoả mãn yêu cầu đề bài.