Cho hai biểu thức A = (x + 2)/ căn bậc 2 (x) và B = 2/căn bậc 2 (x- 3)/ căn bậc 2 (x-1) +( 3 - căn bậc 2 (x)/(x - 1) với (x > 0,x khác 1.

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

Thay \(x = 9\) (tmđk) vào \(A\) ta được \(A = \frac{{9 + 2}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{11}}{3}\).

Vậy \(A = \frac{{11}}{3}\) khi \(x = 9\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\).

Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:

\(B = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {2\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\[ = \frac{{2x + 2\sqrt x  - 3\sqrt x  - 3 + 3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\( = \frac{{2x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\).

Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}\).

3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A.B = 4\).

Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có: \(AB = 4\)\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} = 4\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x  + 1}} = 2\)

\( \Rightarrow x + 2 = 2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow x - 2\sqrt x  = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x  = 0}\\{\sqrt x  = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {ktm} \right)}\\{x = 4\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy \(x = 4\) thì \(AB = 4\).