Cho hai biểu thức: A = căn bậc hai x + 3 căn bậc hai x − 2 và B = căn bậc hai x căn bậc hai x + 3 − 2 3 − căn bậc hai x + 7 căn bậc hai x + 3 x − 9 với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9. a) Tính giá trị

a)    Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\):

\(A = \frac{{\sqrt {16}  + 3}}{{\sqrt {16}  - 2}}\)\( = \frac{{4 + 3}}{{4 - 2}}\)\( = \frac{7}{2}\)

Vậy \(A = \frac{7}{2}\) khi \(x = 16\).

b)    \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{2}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{x - 9}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 3) + 2(\sqrt x  + 3) + 7\sqrt x  + 3}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}}\)

\(B = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2\sqrt x  + 6 + 7\sqrt x  + 3}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}} = \frac{{x + 6\sqrt x  + 9}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}}\)

\(B = \frac{{{{(\sqrt x  + 3)}^2}}}{{(\sqrt x  - 3)(\sqrt x  + 3)}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\)

c)    \(M = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}:\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 3}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  - 3}}\)

\(M\) có giá trị lớn nhất khi \(1 + \frac{1}{{\sqrt x  - 3}} > 0\)

\(\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} > 0\)

\(\sqrt x  - 3 > 0\)

\(\sqrt x  > 3\)

\(x > 9\)

Mà \(x\) là số nguyên \( \Rightarrow x \ge 10\)

Kết hợp đkxđ \( \Rightarrow x \ge 10\)

Với mọi \(x\) thỏa mãn ta có: \(\sqrt x  - 3 \ge \sqrt {10}  - 3\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x  - 3}} \le \frac{1}{{\sqrt {10}  - 3}}\)

\( \Rightarrow 1 + \frac{1}{{\sqrt x  - 3}} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt {10}  - 3}} = 4 + \sqrt {10} \).

Dấu “=’ xảy ra khi \(x = 10\)(TM)

Vậy \(x = 10\) để \(M\) có giá trị lớn nhất