Cho hai biểu thức: A = (căn bậc hai của x + 5) / (căn bậc hai của x − 1) và B = (căn bậc hai của x) / (căn bậc hai của x + 1) + (2 căn bậc hai của x) / (x − 1) − 1 / (căn bậc hai của x + 1) v

8/9

(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \[A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 1}}\] và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x > 0,x \ne 1\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

3) Cho \(P = \frac{A}{B}\). Với \(x\) là số nguyên tố, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 4\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta được \(A = \frac{{\sqrt 4 + 5}}{{\sqrt 4 - 1}} = 7\).

Vậy\(A = 7\) khi \(x = 4\).

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x > 0,x \ne 1\).

\(B = \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) (đpcm).

3) Ta có \(P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}}.\)

Vì \(x\) là số nguyên tố nên:

\[x \ge 2\]

\[\sqrt x \ge \sqrt 2 \]

\[\sqrt x + 1 \ge \sqrt 2 + 1\]

\[\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le \frac{4}{{\sqrt 2 + 1}}\]

\[\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4\sqrt 2 - 4\]

\[1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4\sqrt 2 - 3\]

\[P \le 4\sqrt 2 - 3\]

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 2\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \[4\sqrt 2 - 3\] khi \[x = 2\].