Cho hai biểu thức A = căn bậc hai của x − 4 căn bậc hai của x và B = 4 căn bậc hai của x − 3 + x − 7 căn bậc hai của x − 12x − 9 với x > 0, x ≠ 9. 1. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.

1) Thay \(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được:

\(A = \frac{{\sqrt {25}  - 4}}{{\sqrt {25} }} = \frac{{5 - 4}}{5} = \frac{1}{5}.\)

Vậy \(A = \frac{1}{5}\) khi \(x = 25\).

2) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có:

\(B = \frac{4}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{4\left( {\sqrt x  + 3} \right) + x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{4\sqrt x  + 12 + x - 7\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\).

3) Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{\sqrt x  - 4}}{{\sqrt x  + 3}} = 1 - \frac{7}{{\sqrt x  + 3}}.\)

Vì \(1 \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \mathbb{Z}\) khi và chỉ khi \(P = \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} \in \mathbb{Z}.\)

Với \(x > 0,x \ne 9\) thì \(\sqrt x  + 3 > 3\), từ đó \(0 < \frac{7}{{\sqrt x  + 3}} < \frac{7}{3}\) hay \(0 < P < \frac{7}{3}\).

Mà \(P \in \mathbb{Z}\) nên \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

– Với \(P = 1\) ta có\(\sqrt x  + 3 = 7\) suy ra \(\sqrt x  = 4\) nên \(x = 16\) (TMĐK).

– Với \(P = 2\) ta có \(\sqrt x  + 3 = \frac{7}{2}\) suy ra \(\sqrt x  = \frac{1}{2}\) nên \(x = \frac{1}{4}\) (TMĐK).

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{4};16} \right\}\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.