Cho hai biểu thức A = (2 căn bậc hai x − 1) / (căn bậc hai x − 1) và B = x + 3/(x − 1) + 2 căn bậc hai x + 1 với x ≥ 0; x ≠ 1 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

a) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\):

\(A = \frac{{2.\sqrt 9  - 1}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{5}{2}\).

Vậy khi \(x = 9\), giá trị của biểu thức \(A\) là \(\frac{5}{2}\).

b) \(B = \frac{{x + 3}}{{x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  + 1}}\)

\(B = \frac{{x + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 3 + 2\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

c) \(P = A - 2B = \frac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}} - 2 \cdot \left( {\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}} \right)\)

\(P = \frac{{2\sqrt x  - 1 - 2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\(P = \frac{{2\sqrt x  - 1 - 2\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Ta có \(\sqrt x  - 1 > 0\) suy ra \(x > 1\)

Mà \(x\) nguyên dương

Suy ra \[x \ge 2\]

\[\sqrt x  \ge \sqrt 2 \]

\[\sqrt x  - 1 \ge \sqrt 2  - 1\]

\[\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} \le \frac{1}{{\sqrt 2  - 1}}\]

\[\frac{{ - 3}}{{\sqrt x  - 1}} \ge \frac{{ - 3}}{{\sqrt 2  - 1}}\]

\[P \ge  - 3 - 3\sqrt 2 \]

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\)

\[Min\,P =  - 3 - 3\sqrt 2 \] khi \(x = 2\)