Cho hai biểu thức: A = (2 căn bậc hai của x − 10)/(căn bậc hai của x − 3) và B = (3 căn bậc hai của x + 5 + 20 − 2 căn bậc hai của x)/(x − 25) (với x ≥ 0; x ≠ 9; x ≠ 25). a) Tính giá trị củ

a) Thay \(x = 36\) (TMĐK) vào biểu thức \[A\], ta có:

\(A = \frac{{2\sqrt {36}  - 10}}{{\sqrt {36}  - 3}} = \frac{{2 \cdot 6 - 10}}{{6 - 3}} = \frac{{12 - 10}}{3} = \frac{2}{3}\).

Vậy với \(x = 36\) thì \(A = \frac{2}{3}\).

b) Với \[x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 25,\] ta có:

\(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{x - 25}}\)\( = \frac{3}{{\sqrt x  + 5}} + \frac{{20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)

\( = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 5} \right) + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)\( = \frac{{3\sqrt x  - 15 + 20 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 5}}{{\left( {\sqrt x  + 5} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}}\).

Vậy với \[x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 25\] thì \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 5}}\).

c) Ta có: \(P = A \cdot B = \frac{{2\sqrt x  - 10}}{{\sqrt x  - 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x  - 5}} = \frac{{2\left( {\sqrt x  - 5} \right)\,}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 5} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x  - 3}}\).

Để \(P = \frac{2}{{\sqrt x  - 3}}\) đạt giá trị lớn nhất, ta xét hai trường hợp sau:

• Nếu \(\sqrt x  - 3 < 0\) hay \(x < 9\) thì \(P\) sẽ nhận giá trị âm (loại).

• Nếu \(\sqrt x  - 3 > 0\) hay \(x > 9\) thì \(P\) nhận giá trị dương.

Để một phân thức có tử số không đổi đạt giá trị lớn nhất thì mẫu số phải là số dương nhỏ nhất.

Vì \(x\) là số nguyên và \(x > 9\) nên \(x = 10\).

Vậy \(x = 10\) là giá trị cần tìm.

     Vậy giá trị nguyên của \(x\) để \(P\) lớn nhất là \(x = 10\).