Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y=căn 3x^2 ,
100/100
Cho \(({\rm{H}})\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \({\rm{y}} = \sqrt 3 {{\rm{x}}^2}\), cung tròn có phương trình \({\rm{y}} = \sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\) ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Diện tích của (H) bằng
\(\frac{{4\pi + \sqrt 3 }}{{12}}\)
\(\frac{{4\pi - \sqrt 3 }}{6}\)
\(\frac{{4\pi + 2\sqrt 3 - 3}}{6}\)
\(\frac{{5\sqrt 3 - 2\pi }}{3}\)
Phương pháp giải
- Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị
- Sử dụng phương pháp đổi biến để tính diện tích.
Tính diện tích hình phẳng khi biết hai đường giới hạn
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được
\(\sqrt 3 {x^2} = \sqrt 4 - {x^2} \Leftrightarrow x = \pm 1\) với \(0 \le x \le 2\) nên ta có \(x = 1\)
Ta có diện tích:
\(S = \int_0^1 {\sqrt 3 } {x^2}dx + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx = \left. {\frac{{\sqrt 3 }}{3}{x^3}} \right|_0^1 + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \int_1^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx\)
Đặt: \(x = 2\sin t \Rightarrow dx = 2\cos tdt;\,\,x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6};x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\)
\( \Rightarrow S = \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \left. {2\left( {t + \frac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{4\pi - \sqrt 3 }}{6}\)