Cho góc xOy bằng 60°. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = \(4\sqrt 3 \). Tính độ dài đoạn OA để OB có độ dài lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng định lý sin trong tam giác OAB ta có:

\(\frac{{OB}}{{\sin \widehat {OAB}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {AOB}}}\)

\( \Rightarrow OB = \frac{{AB.\sin \widehat {OAB}}}{{\sin \widehat {AOB}}} = \frac{{4\sqrt 3 .\sin \widehat {OAB}}}{{\sin 60^\circ }} = 8.\sin \widehat {OAB}\).

Mà \(\sin \widehat {OAB} \le 1 \Rightarrow OB \le 8\).

Suy ra maxOB = 8 \( \Leftrightarrow \sin \widehat {OAB} = 1 \Rightarrow \widehat {OAB} = 90^\circ \)

Suy ra tam giác OAB vuông tại A.

Do đó \(OA = \sqrt {O{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {{8^2} - {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 4\).