Cho góc alpha thỏa mãn 0 < alpha < pi/2 và sin alpha = 2/3. Tính 1+ sin 2 alpha + cos 2a / sin alpha + cos alpha.

2/10

Cho góc a thỏa mãn \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) và \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\). Tính \(P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + cos2\alpha }}{{\sin \alpha + cos\alpha }}\).

\(P = - \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\);

\(P = \frac{3}{2}\);

\(P = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\);

\(P = - \frac{3}{2}\).

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

\(P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + cos2\alpha }}{{\sin \alpha + cos\alpha }}\)\( = \frac{{\left( {1 + cos2\alpha } \right) + \sin 2\alpha }}{{\sin \alpha + cos\alpha }}\)\( = \frac{{2co{s^2}\alpha + 2\sin \alpha cos\alpha }}{{\sin \alpha + cos\alpha }}\)

\( = \frac{{2cos\alpha \left( {\sin \alpha + cos\alpha } \right)}}{{\sin \alpha + cos\alpha }}\)\( = 2cos\alpha \).

Có sin²a + cos²a = 1 mà \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) nên \(co{s^2}\alpha = \frac{5}{9}\).

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên cosa > 0. Do đó \(cos\alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Vậy \(P = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\).