Cho góc alpha thỏa 0 độ ≤ alpha ≤ 180 độ và cos alpha = −1/2. Tính giá trị của biểu thức P = 18 · sin^2 alpha + 10 · tan^2 alpha + 2025 · cos(180 độ − alpha).

Ta có hệ thức cơ bản: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Tính \({\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha \): \({\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = \frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = 3\).

Sử dụng tính chất góc bù nhau, ta có: \({\rm{cos}}\left( {180^\circ  - \alpha } \right) =  - {\rm{cos}}\alpha \)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {180^\circ  - \alpha } \right) =  - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).

Thay các giá trị tính được vào biểu thức \(P\):

\(P = 18 \cdot \left( {\frac{3}{4}} \right) + 10 \cdot 3 + 2025 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right)\)

\(P = \frac{{54}}{4} + 30 + \frac{{2025}}{2} = \frac{{27}}{2} + \frac{{60}}{2} + \frac{{2025}}{2}\)

\(P = \frac{{27 + 60 + 2025}}{2} = \frac{{2112}}{2} = 1056\)

Vậy \(P = 1056\).