Cho giới hạn lim x → + ∞ ( √ 36 x 2 + 5 a x + 1 − 6 x + b ) = 20 3 và đường thẳng Δ : y = a x + 6 b đi qua điểm M(3;42) với a , b ∈ R . Giá trị của biểu thức T = a 2 + b 2 l

Đường thẳng \[{\rm{\Delta }}:{\rm{y = ax + 6b}}\] đi qua điểm M(3; 42) nên:

\[{\rm{3a + 6b}} = 42 \Rightarrow {\rm{a}} + 2{\rm{b}} = 14\]

Ta có:

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } \left( {\sqrt {{\rm{36}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5ax + 1}}} - {\rm{6x + b}}} \right)\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } \left( {\frac{{\left( {\sqrt {{\rm{36}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5ax + 1}}} - 6{\rm{x}}} \right)\left( {\sqrt {{\rm{36}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5ax + 1}}} {\rm{ + 6x}}} \right)}}{{\sqrt {{\rm{36}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5ax + 1}}} {\rm{ + 6x}}}} + {\rm{b}}} \right)\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } \left( {\frac{{{\rm{5ax + 1}}}}{{\sqrt {{\rm{36}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5ax + 1}}} {\rm{ + 6x}}}} + {\rm{b}}} \right)\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to + \infty } \left( {\frac{{{\rm{5a + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}}}{{\sqrt {{\rm{36 + }}\frac{{{\rm{5a}}}}{{\rm{x}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + 6}}} }}{\rm{ + b}}} \right) = \frac{{{\rm{5a}}}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + b}}\]

Do đó \[\frac{{{\rm{5a}}}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + b = }}\frac{{{\rm{20}}}}{{\rm{3}}} \Rightarrow {\rm{5a + 12b = }}80\]. Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{5a + 12b = 80}}}\\{{\rm{a + 2b = 14}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{a = 4}}}\\{{\rm{b = 5}}}\end{array}} \right.\).

Vậy \[{\rm{T = }}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 41}}\]

Đáp án cần chọn là: C