Cho f(x) là hàm số liên tục trên tập số thực không âm và thỏa mãn

6/234

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên tập số thực không âm và thỏa mãn \(f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) = x + 2,\,\,\forall x \ge 0.\) Tính \[\int\limits_1^5 {f\left( x \right)\,} dx\].

\(\frac{{37}}{6}.\)

\(\frac{{527}}{3}.\)

\(\frac{{61}}{6}.\)

\(\frac{{464}}{3}.\)

Giải thích

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} = \frac{{61}}{6}\).

Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x\).

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.\].

Suy ra \(\frac{{61}}{6} = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^5 {f\left( t \right)\,} dt = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)\,} dx.\) Chọn C.