Cho \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) \cdot {\pi ^x}\). Họ nguyên hàm của hàm số

33/150

Cho \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) \cdot {\pi ^x}\). Họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right) \cdot {\pi ^x}\) là

\(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = - {x^\pi } + {x^{\pi - 1}} + C.\)

\(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = - {x^\pi }\ln \pi + \pi {x^{\pi - 1}} + C.\)

\(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = {x^\pi }\ln \pi - \pi {x^{\pi - 1}} + C.\)

\(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = - {x^\pi } + \pi {x^{\pi - 1}} + C.\)

Giải thích

Đặt \(I = \int {f'\left( x \right) \cdot {\pi ^x}dx} \).

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {\pi ^x}}\\{dv = f'\left( x \right)dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = {\pi ^x}\ln \pi }\\{v = f\left( x \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow I = {\pi ^x}f\left( x \right) - \ln \pi \int {{\pi ^x}f\left( x \right)dx} \).

Vì \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) \cdot {\pi ^x}\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F'\left( x \right) = f\left( x \right){\pi ^x}}\\{\int {f\left( x \right){\pi ^x}dx} = F\left( x \right) + C = {x^\pi } + C}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \pi .{x^{\pi - 1}} = f\left( x \right) \cdot {\pi ^x} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{\pi \cdot {x^{\pi - 1}}}}{{{\pi ^x}}}\)\( \Rightarrow I = {\pi ^x}\frac{{\pi \cdot {x^{\pi - 1}}}}{{{\pi ^x}}} - {x^\pi }\ln \pi + C\)

\( \Rightarrow I = \pi \cdot {x^{\pi - 1}} - {x^\pi }\ln \pi + C\).Chọn B.