Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O), từ điểm M kẻ các tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) (A,B là các tiếp điểm). Đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt C

13/14

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$, từ điểm $M$ kẻ các tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $\left( O \right)$ $(A,B$ là các tiếp điểm). Đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại hai điểm phân biệt $C$ và $D$ $(C$ nằm giữa $M$ và $D).$

a) Chứng minh bốn điểm $M,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ với $OM$, $I$ là trung điểm của $MH$. Đường thẳng $AI$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm $E$ $(E$ khác $A$). Chứng minh $MC \cdot MD = M{A^2}$ và $HE \bot AI$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Xét $\Delta IHE$ và $\Delta IAH$ có (ảnh 1)$

a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có $\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ $ nên hai điểm $A,\,\,B$ nằm trên đường tròn đường kính $MO$ suy ra tứ giác $MAOB$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $MO$.

Vậy 4 điểm $M,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) *) Chứng minh $MC.MD = M{A^2}$:

Xét $\Delta CMA$ và $\Delta AMD$ có $\widehat {AMD}$ là góc chung và $\widehat {MAC} = \widehat {MDA}{\rm{ }}$

Suy ra $Δ C M A ∽ Δ A M D$ (g.g), nên $\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{DM}}{{AM}}$, hay $M{A^2} = MC.MD$.

*) Chứng minh $HE$ vuông góc với $AI$:

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OHA$ có $\widehat {AOH}$ là góc chung và $\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ $

Suy ra $Δ O A M ∽ Δ O H A$ (g.g).

Dẫn đến $\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{OA}}{{OM}}$ hay $\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OM}} = \frac{{OC - OH}}{{OM - OC}} = \frac{{OC + OH}}{{OM + OC}} = \frac{{OD + OH}}{{OM + OD}}$ tức là $\frac{{HC}}{{CM}} = \frac{{HD}}{{DM}}\quad \left( 1 \right).$

Ta sẽ chứng minh $I{H^2} = IC.ID$.

Thật vậy: (1) tương đương $\frac{{DM}}{{MC}} = \frac{{DH}}{{CH}}$.

Mặt khác: \[\frac{{DM}}{{MC}} = \frac{{IM + ID}}{{IC + IM}};\quad \frac{{DH}}{{CH}} = \frac{{ID - IH}}{{IH - IC}}.\]

Mà \[IM = IH\] nên \[\frac{{IH + ID}}{{IC + IH}} = \frac{{ID - IH}}{{IH - IC}}.\]

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được $\frac{{IH}}{{IC}} = \frac{{ID}}{{IH}}$, nên $I{H^2} = IC.ID$.

Xét $\Delta ICE$ và $\Delta IAD$ có $\widehat {AID}$ là góc chung và $\widehat {ICE} = \widehat {IAD}$ (do tứ giác $CEAD$ nội tiếp)

Suy ra $Δ I C E ∽ Δ I A D$ (g.g), dẫn đến $\frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IA}}$, hay $IE.IA = IC.ID$.

Từ đây suy ra $I{H^2} = IE.IA$, tương đương với $\frac{{IH}}{{IE}} = \frac{{IA}}{{IH}}$ (2).

Xét $\Delta IHE$ và $\Delta IAH$ có $\widehat {AID}$ là góc chung và $\frac{{IH}}{{IE}} = \frac{{IA}}{{IH}}$

Do đó $Δ I H E ∽ Δ I A H$ (c.g.c), nên là $\widehat {IEH} = \widehat {IHA} = 90^\circ $, hay $HE \bot AI$.