Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm ngoài đường tròn. Các đường thẳng SA,SB lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M, N

59/83

Cho đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB\] và \[S\] là một điểm nằm ngoài đường tròn. Các đường thẳng \[SA,SB\] lần lượt cắt đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm thứ hai \[M,N\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[AN\] với \[BM\]. Chứng minh rằng:

(a) \[SH \bot AB\].

(b) \[HM.HB = HN.HA\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm ngoài đường tròn. Các đường thẳng SA,SB lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai M, N (ảnh 1)

a) Ta có \[M,N\] nằm trên đường tròn đường kính \[AB\] nên ta có:

\[\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \[BM \bot SA,AN \bot SB\] nên \[H\] là trực tâm của tam giác \[SAB\].

Suy ra \[SH \bot AB\].

b) Xét hai tam giác \[HMA\] và \[HNB\] có \[\widehat {MHA} = \widehat {NHB}\] (đối đỉnh) và \[\widehat {MAH} = \widehat {NBH}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[MN\]).

Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{HM}}{{HN}} = \frac{{HA}}{{HB}}\] suy ra \[HM.HN = HN.HA\].