Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ điểm M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm).

a) Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp,

Ta có \(AKB={90}^{0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra \(AKN={90}^{0}\).

Xét \(∆AKN\)vuông tại K,nên \(∆AKN\)nội tiếp đường tròn đường kính AN (1).

Xét \(∆AHN\)vuông tại H, nên \(∆AHN\)nội tiếp đường tròn đường kính AN (2).

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A,K,N,H cùng nằm trên đường tròn đường kính AN.

b) Ta có \(ACB={90}^{0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn),

Xét \(∆ACH\)và \(∆ABC\) có : \(AHC=ACB\) =\({90}^{0}\)

\(CAB=CAH\)

Vậy \(∆ACH ~\) \(∆ABC\)(g-g), suy ra \(\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}\) nên \({AC}^{2}=AH.AB\)

Mà AB = 2OC ( Vì AB là đường kính ), suy ra \({AC}^{2}\) = 2 AH. OC

Ta có MA và MC là hai tiếp tuyến của (O) nên

MA =MC và OA=OC =R ,

Suy ra OM là đường trung trực của AC .

Do đó \[OM \bot AC\] và \[BC \bot AC(cmt)\] , suy ra OM // BC.

Suy ra \(OMB=KBC\) ( So le trong ) (3)

\(KAC=KBC\) ( góc nội tiếp chắn cung KC) (4)

Từ (3) và (4) suy ra : \(KAC=OMB.\)

c) Xét \(∆AOMvà ∆HBCcó :MAO=CHB\) =\({90}^{0}\)

\(AOM=HBC\) ( Hai góc đồng vị của MO//BC).

Do đó \(∆AOM~∆HBC\) (g-g) , suy ra \(\frac{AM}{CH}=\frac{AO}{BH}\) (5)

Ta lại có MA //CH ( vì cùng vuông góc với AB) nên NH // MA

Xét \(∆AMBcó\)NH // MA nên \(∆HNB\) \(~\) \(∆AMB\)

Do đó \(\frac{AB}{BH}=\frac{AM}{HN}\) , suy ra \(\frac{AB}{2BH}=\frac{AM}{2HN}\) , mà AO = \(\frac{AB}{2}\)

Suy ra \(\frac{AO}{BH}=\frac{AM}{2HN}\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra : \(\frac{AM}{CH}=\frac{AM}{2HN}\) , suy ra CH = 2 HN

Suy ra CN = NH . Vậy N là trung điểm của CH.