Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên AB lấy điểm E, qua E vẽ CD vuông góc với AB. Trên BE lấy điểm F, vẽ dây CM, DN đi qua F. Chứng minh tứ giác CDMN là hình thang cân.

Gọi H=MN∩BF

Tứ giác CNMD nội tiếp đường tròn tâm O

MNC^=NDM^ (cùng chắn dây cung MN)

Xét  ΔEFC vuông tại E và ΔEFC vuông tại:

EC = ED (vì AB là trung trực của CD)

EF chung.

⇒ΔEFC=ΔEFD suy ra CF = DF

Xét ΔCFN và ΔDEM:

MNC^=NDM^ (chứng minh trên)

CF = DF (chứng minh trên)

NFC^=MFD^ (hai góc đối đỉnh)

⇒ΔCFN=ΔDEM (g.c.g)

⇒CN=DM (1)

Chứng minh ΔNFH=ΔMFH (c.g.c)

⇒AB⊥MN mà AB⊥CD 

Suy ra MN // CD ⇒ MNCD là hình thang              (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNCD là hình thang cân.