Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm của OB, MN là dây

a) Nối OI ta có:

+ Xét tam giác OMN có

OM = ON (bán kính đường tròn)

⇒ Tam giác OMN cân (tam giác có hai cạnh bên bằng nhau là tam gíac cân)

MI = NI (đề bài)

⇒ OI là trung tuyến thuộc cạnh MN

⇒ OI vuông góc MN (trong tam giác cân trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời là đường cao của tam giác cân)

Ta có: AA' vuông góc MN

OI vuông góc MN (cmt)

⇒ OI // AA'

Xét tam giác ABD có:

OA = OB (bán kính đường tròn)

OI//AD (chứng minh trên OI//AA')

⇒ BI=DI (đường thẳng // cạnh đáy và đi qua trung điểm của 1 cạnh bên thì cũng đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại)

Mà MI=NI

⇒ DMNB là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)

b) Xét tam giác OBD có

HO=HB (đề bài)

BI =DI (chứng minh trên)

⇒ HI là đường trung bình của tam giác OBD.

⇒ HI//OD

Mà HI vuông góc AA'

⇒ OD vuông góc AA'

⇒ AD=A'D (Bán kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung tại điểm cắt nhau).