Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD vuông góc với AB tại F. Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (M khác B và C), hai đường thẳng AM và CD cắt nhau tại E. Khi đó, (I). Tứ giác BMEF nội

Đáp án đúng là: D

• Ta có: \[\widehat {BMA} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \[\widehat {BME} = 90^\circ \]

Xét ∆BME vuông tại M nên B, M ,E thuộc đường tròn đường kính BE (1)

Xét ∆EFB vuông tại F nên B, F, E thuộc đường tròn đường kính BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra B, M, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BE hay tứ giác BMEF nội tiếp.

Do đó, (I) đúng.

• Ta có AB ⊥ CD tại F và AB là đường kính

Ta chứng minh được ∆OCD cân tại O do OC = OD = R nên F là trung điểm của CD.

Do đó, AB là đường trung trực của CD nên .

Ta có: và .

Suy ra \[\widehat {CMA} = \widehat {DMA}\], do đó AM là phân giác của góc CMD.

Vậy ý (II) đúng.

• Xét ∆ACE và ∆ACM có:

\[\widehat A\] chung (gt)

Suy ra ∆ACE ᔕ ∆ACM (g.g)

Suy ra \[\frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] hay AC² = AE.AM.

Do đó ý (III) đúng.

Vậy cả ba phát biểu trên đều đúng.