Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt

1) Ta có: FEB^= 90° (CE ⊥ AB)

FMB^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác BMFE có FEB^+FMB^= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác BMFE nội tiếp.

2) Ta có AMB^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra AM ⊥ MB

Xét tam giác AKB có:

KE ⊥ AB (giả thiết)

AM ⊥ KB (chứng minh trên)

Mà KE cắt AM tại F suy ra F là trực tâm của ∆AKB.

Suy ra BF ⊥ AK.

Xét ∆ AFE và ∆ KBE có:

AEF^=KEB^= 90° (KE ⊥ AB)

AFE^=KBE^ (tứ giác BMFE nội tiếp)

Suy ra ∆AFE  ∆KBE (g.g)

Từ đó suy ra AEKE=FEBE⇔AE.BE=KE.EF (điều phải chứng minh)

3) Xét tam giác AOM có:

OA = OM = R suy ra ∆AOM cân tại O suy ra OMA^=OAM^ (1)

Ta có AMO^+IMF^=IMO^=90°AMO^+IMF^=IMO^=90° (MI là tiếp tuyến của (O))

KMI^+IMF^=KMF^=90° (KM ⊥ FM)

Suy ra AMO^=KMI^ (2)

Mà ∆AFE  ∆KBE suy ra OAM^=IKM^ (hai góc tương ứng) (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra IMK^=IKM^

Suy ra tam giác IMK cân tại I suy ra IM = IK (4)

Xét ∆KMF vuông tại M ta có:

FKM^+KFM^=90°

KMI^+IMF^=90°

Mà IMK^=IKM^ (chứng minh trên)

Nên IMF^=IFM^ suy ra ∆IMF cân tại I suy ra IM = IF (5)

Từ (4) và (5) suy ra KI = IF (= IM) (điều phải chứng minh)