Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua

a) Ta có: \(\widehat {AKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp đường tròn (O)) \( \Rightarrow \widehat {HKB} = 90^\circ \).

Có: \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB} = 90^\circ \) (MN\( \bot \)AB; H, C ∈ MN)

Xét tứ giác BCHK có \(\widehat {HCB} + \widehat {HKB} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn.

b) Xét \(\Delta ACH\) và \(\Delta AKB\) có:
\(\widehat {BAK}\) chung

\(\widehat {ACH} = \widehat {AKB} = 90^\circ \) (cmt)

Suy ra \(\Delta AHC\)ᔕ\(\Delta AKB\)(g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AK}}\)

\( \Leftrightarrow \)AH.AK = AC. AB \( = \frac{R}{2}.2R = {R^2}\) (đpcm)