Cho đường tròn tâm O có bán kính R=5cm. (a) Tính độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp trong (O). (b) Một hình chữ nhật nội tiếp trong (O) có chu vi 28 cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình

a) Gọi hình vuông nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O\,;\,5\,{\rm{cm}}} \right)\) là \(ABCD\)

Ta có \(AC\, = \,2R\, = \,2 \cdot \,5\, = \,10\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là cạnh hình vuông.

Theo định lí Pythagore, ta có: \({x^2}\, + \,{x^2}\, = \,A{C^2}\) hay \(2{x^2}\, = \,{10^2}.\)

Suy ra \({x^2}\, = \,50\) nên \(x\, = \,\sqrt {50} \, = \,5\sqrt 2 \).

Vậy cạnh hình vuông nội tiếp trong đường tròn \(\left( {O\,;\,\,\,5\,\,{\rm{cm}}} \right)\) bằng \(5\sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}.\)

b) Gọi chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là \(a,\,\,b\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) \(\left( {a\, > \,b\, > \,0} \right).\)

Nửa chu vi hình chữ nhật là: \(a\, + \,b\, = 14\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Theo định lí Pythagore, ta có:

\({a^2}\, + \,{b^2}\, = \,A{C^2}\) hay \({a^2}\, + \,{b^2}\, = \,{10^2} = \,100\).

Theo bài ra, ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,a\, + b\, = \,14\\{a^2}\, + \,{b^2}\, = \,100.\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất, ta có \(b\, = \,14\, - \,a\).

Thế \(b\, = \,14\, - \,a\) vào phương trình thứ hai, ta có:

\({a^2}\, + \,{\left( {14\, - \,a} \right)^2}\, = \,100\)

\({a^2}\, + \,\left( {196\, - \,28a\, + {a^2}} \right) = \,100\)

\({a^2}\, - \,14a\, + \,48\, = \,0\)

\(a = 8\) hoặc \(a\, = 6\)

• Với \(a = 8\) thì \(b\, = 6\) (TMĐK).

• Với \(a\, = 6\) thì \(b = 8\) (loại vì \(a\, > \,b\)).

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là \(8\,\,{\rm{cm}}\) và chiều rộng là \(6\,\,{\rm{cm}}\).