Cho đường tròn tâm O bán kính 15 cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 25 cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H.
a) Xét ∆OBC có OB = OC nên ∆OBC cân tại O, suy ra đường cao OH của tam giác cũng đồng thời là đường phân giác của góc BOC, do đó O1^=O2^.
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB⊥ OB hay ABO^=90°
Xét ∆OAC và ∆OAB có:
OC = OB, O1^=O2^, cạnh OA chung
Do đó ∆OAC=∆OAB (c.g.c).
Suy ra OCA^=OBA^=90° hay AC vuông góc với OC tại C thuộc đường tròn (O).
Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có: OA2 = AB2 + OB2
Suy ra AB=OA2−OB2=252−152=400=20 cm.
Xét ∆OBH và ∆OAB có: OHB^=OBA^=90° và O^ là góc chung
Do đó ∆OBH ᔕ ∆OAB (g.g)
Suy ra BHAB=OBOA nên BH=AB⋅OBOA=20⋅1525=12 cm.
Do ∆OBC cân tại O, suy ra đường cao OH của tam giác cũng đồng thời là đường trung tuyến hay H là trung điểm của BC, nên BC = 2BH = 2.12 = 24 cm.
Do ∆OAC=∆OAB (chứng minh ở câu a) nên AC=AB = 20 cm.
Vậy tam giác ABC có AB=AC=20 cm và BC=24 cm.