Cho đường tròn $(O)$và điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn từ $A$, vẽ hai tiếp tuyến

6/7

Cho đường tròn $(O)$và điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn từ $A$, vẽ hai tiếp tuyến\[AB\], \[AC\] (\[B\], \[C\] là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác \[ABOC\] nội tiếp.

b) Vẽ đường kính \[CE\], nối \[AE\] cắt đường tròn $(O)$tại điểm thứ hai là $F$.

Chứng minh $A{B^2} = AE{\rm{\cdot}}AF$.

c) Cho \[OA\] cắt \[BC\] tại \[H\], \[BF\] cắt \[OA\] tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm của \[AH\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $(O)$và điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn từ $A$, vẽ hai tiếp tuyến (ảnh 1)$

a) Xét tứ giác $ABOC$ có:

$\widehat {ABO} = \widehat {ACO} = 90^\circ $ ($AB$, $AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $B$, $C$ của $\left( O \right)$)

$ \Rightarrow \widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 180^\circ $

Vậy tứ giác $ABOC$ nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

b) Xét $\Delta ABF$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat {BAF}$ là góc chung

$\widehat {ABF} = \widehat {AEB}$

Do đó $\Delta ABF \sim \Delta AEB$ (g – g)

\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{AE}}{{AB}}\] (tính chất hai tam giác đồng dạng)

$ \Rightarrow A{B^2} = AE.AF$

c) Xét $\left( O \right)$ có $AB$, $AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $B$, $C$ của $\left( O \right)$, $OA \cap BC = H$

$ \Rightarrow OA \bot BC$ tại $H$

Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$, đường cao $BH$, ta có:

$A{B^2} = AH.AO$

Do đó $AE.AF = AH.AO$ $\left( { = A{B^2}} \right)$

$ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{AF}}$

Xét $\Delta AEO$ và $\Delta AHF$, ta có:

$\widehat {HAF}$ là góc chung

$\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{AF}}$

Do đó $\Delta AEO \sim \Delta AHF$ (c – g – c)

$ \Rightarrow \widehat {AEO} = \widehat {AHF}$ (Hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {AHF} + \widehat {FHO} = 180^\circ $ (hai góc kề bù)

nên $\widehat {AEO} + \widehat {FHO} = 180^\circ $ hay $\widehat {FEO} + \widehat {FHO} = 180^\circ $

Suy ra tứ giác $OHFE$ nội tiếp (Hai góc đối bù nhau)

$ \Rightarrow \widehat {HFE} + \widehat {HOE} = 180^\circ $ (Tính chất tứ giác nội tiếp)

Kéo dài $AO$ cắt $\left( O \right)$ tại $K$ ($O$ nằm giữa $A$ và $K$ta có:$\widehat {KOE} + \widehat {HOE} = 180^\circ $

$ \Rightarrow \widehat {KOE} = \widehat {HFE}$ (Cùng bù $\widehat {HOE}$)

Xét $\left( O \right)$, ta có:

$\widehat {EBC} = 90^\circ $ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\[ \Rightarrow EB \bot BC\]

Mặt khác, ta có:$ \Rightarrow OA \bot BC$ tại $H$ (cmt)$ \Rightarrow AK \bot BC$

Do đó: $EB{\rm{ // }}AK$ (cùng vuông góc với $BC$) $ \Rightarrow \widehat {KOE} = \widehat {OEB}$ (Hai góc so le trong)

$ \Rightarrow \widehat {KOE} = \widehat {CEB}$

Suy ra$\widehat {HFE} = \widehat {CEB}{\rm{ }}\left( { = \widehat {KOE}} \right)$

Xét $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {BFE} = \widehat {BCE}$

Trong $\Delta EBC$ vuông tại $B$, ta có: $\widehat {BEC} + \widehat {BCE} = 90^\circ $

Ta có:

$\widehat {BFH} = \widehat {BFE} + \w\(HF$idehat {HFE} = \widehat {BCE} + \widehat {BEC} = 90^\circ \)$ \Rightarrow HF \bot BI$ tại $F$

Xét $\Delta BHI$ vuông tại $H$, đường cao , ta có:

$I{H^2} = IF.IB$ $\left( 1 \right)$

Xét \[\Delta IAF\] và \[\Delta IBA\], ta có:

$\widehat {AIF}$ là góc chung

$\widehat {IBA} = \widehat {IAF}$ ($\widehat {IBA} = \widehat {BEF}$ cùng chắn cung $BF$ của $\left( O \right)$, $\widehat {BEF} = \widehat {IAF}$là hai góc so le trong của $EB{\rm{ // }}AK$)

Vậy \[\Delta IAF \sim \Delta IBA\] (g – g)

$ \Rightarrow \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{IF}}{{IA}}$

$ \Rightarrow I{A^2} = IF.IB$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $ \Rightarrow I{H^2} = I{A^2}$

$ \Rightarrow IH = IA$ hay $I$ là trung điểm $AH$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bình Thuận có đáp án

Cho đường tròn \((O)\)và điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn từ \(A\), vẽ hai tiếp tuyến