Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định nằm ngoài đường tròn. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB. Lấy điểm C bất kỳ thuộc cung nhỏ AB, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D

6/8

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và một điểm $M$ cố định nằm ngoài đường tròn. Từ $M$ ta kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$. Lấy điểm $C$ bất kỳ thuộc cung nhỏ $AB$, đường thẳng $MC$ cắt đường tròn

$\left( O \right)$ tại điểm thứ hai là $D$. Gọi $I$ là trung điểm của dây $CD$.

a. Chứng minh 5 điểm $A,B,I,O,M$ cùng thuộc một đường tròn.

b. Gọi $H$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $BI$ với đường tròn.

Chứng minh $\widehat {MOA} = \widehat {AHB}$. Từ đó chứng minh \[AH\parallel CD\].

c. Xác định vị trí điểm $C$ trên cung nhỏ $AB$ để diện tích tam giác $MHD$ lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ và một điể (ảnh 1)$

a. Vì $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OA \bot MA$ tại $A$ và $OB \bot MB$ tại $B$. Do đó tam giác $OMA$ vuông tại $A$ và tam giác $OMB$ vuông tại $B$.

Vì tam giác $OMA$ vuông tại $A$ nên ba điểm $O,A,M$ thuộc đường tròn đường kính $OM$$\left( 1 \right)$

Vì tam giác $OMB$ vuông tại $B$ nên ba điểm $O,B,M$ thuộc đường tròn đường kính $OM$$\left( 2 \right)$

Xét tam giác $OCD$ có $OC = OD$ nên tam giác $OCD$ cân tại $O$

Lại có $OI$ là đường trung tuyến (với $I$ là trung điểm $CD$) nên $OI$ đồng thời là đường cao hay $OI \bot CD$ tại $I$. Do đó tam giác $MOI$ vuông tại $I$.

Vì tam giác $MOI$ vuông tại $I$ nên ba điểm $O,I,M$ thuộc đường tròn đường kính $OM$$\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$,$\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ suy ra 5 điểm $A,B,I,O,M$ cùng thuộc một đường tròn.

b. Xét đường tròn $\left( O \right)$. Vì $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $OM$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$. Hay $\widehat {MOA} = \widehat {MOB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$ $\left( 4 \right)$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ :

$\widehat {AOB} = $sđ (góc ở tâm), $\widehat {AHB} = \frac{1}{2}$sđ (góc nội tiếp chắn cung $BC$)

Do đó $\widehat {AHB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB}$ $\left( 5 \right)$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra $\widehat {AHB} = \widehat {MOA}$

Xét đường tròn tâm $K$ đường kính $OM$ có $\widehat {MOB} = \widehat {MIB}$ (cùng chắn cung $MB$)

Mà $\widehat {MOB} = \widehat {MOA}$ và $\widehat {AHB} = \widehat {MOA}$ suy ra $\widehat {AHB} = \widehat {MIB}$

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $AH\parallel CD$.

$Cho đường tròn $\left( O \right)$ và một điể (ảnh 2)$

Vì $AH\parallel CD$ nên diện tích tam giác $MHD$ cũng chính là diện tích tam giác $MAD$

Kẻ $DK$ vuông góc với $MA$. Khi đó diện tích tam giác $MAD$ là: $\frac{1}{2} \cdot DK \cdot AM$

Vì $MA$ cố định nên diện tích tam giác $MAD$ lớn nhất khi $DK$ lớn nhất. Vì tam giác $ADK$ vuông tại $K$ nên $DK \le DA$. Mà $DA$ là một dây cung của đường tròn $\left( O \right)$, do đó $DA$ lớn nhất khi $DA$ là đường kính. Khi đó $C$ là giao điểm thứ hai của $MD$ và đường tròn $\left( O \right)$.