Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM

46/169

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp.

b) Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn (O) (Tia AO nằm giữa AM và tia AC).

Chứng minh rằng AM² = AB.AC.

c) Gọi H là giao điểm AO và MN. Chứng minh rằng tứ giác BHOC nội tiếp.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM (ảnh 1)

a) \(\widehat {OMA} = \widehat {ONA} = 90^\circ \)(vì AM, AN là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác OMAN có: \(\widehat {OMA} + \widehat {ONA} = 180^\circ \)

Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp

hay O, M, A, N cùng thuộc 1 đường tròn

b) Xét tam giác AMB và tam giác ACM có:

\(\widehat {MAC}\)là góc chung

\(\widehat {MCA} = \widehat {BMA}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Suy ra: ∆AMB ∽ ∆ACM (g.g)

⇒\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}\) hay AM² = AB.AC

c) Ta có: OM = ON = R

MA = NA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Khi đó OA là trung trực của MN.

Suy ra: OA vuông góc MN

Xét tam giác OMA vuông tại M có đường cao MH, ta cóL

MA² = AH.AO

Mà AM² = AB.AC nên AH.AO = AB.AC

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

Xét ∆ABH và ∆AOC có:

\(\frac{{AB}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AC}}\)

\(\widehat {OAC}\)là góc chung

⇒ ∆ABH ∽ ∆AOC (c.g.c)

⇒\(\widehat {AHB} = \widehat {ACO}\)(hai góc tương ứng)

Do đó tứ giác BHOC nội tiếp.