Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là 2 tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, qua H kẻ một đường thẳng vuông g

a) Ta có:

OBA^= 90° (AB là tiếp tuyến của (O)).

OCA^= 90° (AC là tiếp tuyến của (O)).

Xét tứ giác ABOC có OBA^+OCA^= 90° + 90° = 180°.

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp.

Xét ∆ ABM và ∆ ANB có:

NAB^là góc chung.

ANB^=ABM^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Suy ra ∆ABM đồng dạng ∆ANB (g.g)

Từ đó suy ra AMAB=BMNB⇔ AB.BM = AM.NB (đpcm)

b) Tứ giác ABOC nội tiếp có OBA^= 90° suy ra OA là đường kính cũng suy ra tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính OA.

Ta có OK ⊥ MN (tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung thì vuông góc với dây đó).

Suy ra OKM^=OKA^=90° dẫn đến K thuộc đường tròn đường kính OA.

Vậy 5 điểm A, B, C, O, K cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA.

Vì ∆ABM  ∆ANB (cmt) nên ta có: ABAN=AMAB

ÛAB² = AM.AN.

Mà ta cũng có AB² = AH.AO (∆ ABO vuông tại B có đường cao BH).

Suy ra AM.AN = AH.AO Û AMAO=AHAN.

Xét ∆AMH và ∆AON có:

OAN^là góc chung

AMAO=AHAN (cmt)

Suy ra ∆AMH đồng dạng ∆AON (c.g.c)

Từ đó suy ra AMH^=AON^ (hai góc tương ứng).

c) Ta có MH // AC (cùng vuông góc với OC).

Suy ra KMH^=KAC^(hai góc đồng vị).

Ta lại có KBC^=KAC^ (tứ giác KBAC nội tiếp)

Từ đó suy ra KBH^=KMH^ suy ra tứ giác KBMH nội tiếp.

MKH^=MBH^(tứ giác KBMH nội tiếp)

MNC^=MBC^(tứ giác NBMC nội tiếp đường tròn (O))

⇒MKH^=MNC^⇒ KH//NC      (1)

Ta có H là trung điểm BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

I là trung điểm NB (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây).

⇒ IH là đường trung bình của tam giác NBC ⇒ IH // NC                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra K, H, I thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-clit).