Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn tại B và C. Gọi H là giao điểm của OA và BC

33/42

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ $A$ tiếp xúc với đường tròn tại $B$ và $C$. Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$, kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $\left( O \right)$, hạ $CM \bot BD$ tại $M.$ Tia $AO$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E,F$.

a) Chứng minh rằng $∆ C M D đ ồ n g d ạ n g ∆ A C O$

b) Chứng minh rằng \[BE\] là phân giác của $\widehat {ABC}.$

c) Cho \[\widehat {DCM} = 30^\circ \] và \[AH = 4{\rm{ cm}}\]. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OB,OC\] và cung nhỏ $BC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn tại B và C. Gọi H là giao điểm của OA và BC (ảnh 1)

a) Ta có: $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, suy ra $OA$ là đường phân giác của $\widehat {BOC}$ (tính chất) nên $\widehat {AOC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có:

$\widehat {CDB} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $BC)$

Do đó, $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$.

Xét $\Delta CMD$ và $\Delta ACO$ có:

$\widehat {CMD} = \widehat {ACO} = 90^\circ $ và $\widehat {CDM} = \widehat {AOC}$ (do $\widehat {AOC} = \widehat {CDB}$)

Do đó $∆ C M D đ ồ n g d ạ n g ∆ A C O$ (g.g).

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$, ta có: $\widehat {EBF} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Ta có $\widehat {ABO} = \widehat {EBF} = 90^\circ $ nên $\widehat {ABE} + \widehat {EBO} = \widehat {EBO} + \widehat {OBF}$

Suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OBF}$.

Lại có: $\widehat {OBF} = \widehat {OFB}$(vì $\Delta BOF$ cân tại $O$ do $OB = OF)$ suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {OFB}$ (1)

Mà $\widehat {ECB} = \widehat {OFB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $EC$ của đường tròn tâm $O$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {ECB} = \widehat {ABE}$. (3)

Mặt khác, $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R$

Suy ra $OA$ là đường trung trực của $BC$ mà $E \in OA$, suy ra $EB = EC$.

Do đó $\Delta EBC$ cân tại $E$ nên $\widehat {ECB} = \widehat {EBC}$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {EBC} = \widehat {ABE}$ nên $BE$ là tia phân giác của góc $B$ trong tam giác $ABH.$

Vậy \[BE\] là phân giác của $\widehat {ABC}.$

c) Theo câu a, (g.g), suy ra $\widehat {OAC} = \widehat {DCM} = 30^\circ $.

Suy ra $\widehat {AOC} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $.

Do đó, $\widehat {BOC} = 2\widehat {AOC} = 120^\circ $ hay

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, có: $\cos \widehat {HAC} = \frac{{AH}}{{AC}}$

Suy ra $AC = \frac{{AH}}{{\cos \widehat {HAC}}} = \frac{4}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Xét $\Delta AOC$ vuông tại $C$, có: $OC = AC.\tan \widehat {OAC} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\tan 30^\circ = \frac{8}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OB,OC\] và cung nhỏ $BC$ là:

\[S = \frac{{\pi .{{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2} \cdot 120}}{{360}} = \frac{{64\pi }}{{27}}{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính \[OB,OC\] và cung nhỏ $BC$ là \[\frac{{64\pi }}{{27}}{\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]