Cho đường tròn O và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn

4/5

Cho đường tròn $\left( {O\,;\,\,R} \right)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn (với $OM \ne 2R).$ Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,\,\,MB$ đến đường tròn $\left( O \right)$ (với $A,B$ là các tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp đường tròn.

2) Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $MB$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $C$ (khác $A),$ đường thẳng $MC$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$ (khác $C).$ Chứng minh $\widehat {AEB} = \widehat {BEM}$.

3) Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB\,;\,\,I$ là điểm đối xứng của $E$ qua $OM.$ Chứng minh $ME \cdot MC = MH \cdot MO$ và ba điểm $C,\,\,H,\,\,I$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Chứng minh tứ giác $MAOB$ nội tiếp đường tròn.

Vì $MA,\,\,MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ (với $A,B$ là các tiếp điểm) nên

$MA \bot OA\,,\,\,MB \bot OB$

Hay $\widehat {OAM} = \widehat {OBM} = 90^\circ $.

Xét tứ giác $MAOB$ có

$\widehat {OAM} + \widehat {OBM} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.

$Cho đường tròn O và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn (ảnh 1)$

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác $MAOB$ nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh $\widehat {AEB} = \widehat {BEM}$.

Vì $AC\,{\rm{//}}\,MB\,\,\left( {{\rm{gt}}} \right)$ nên $\widehat {ACE} = \widehat {BME}$ (so le trong)

Mà $\widehat {ACE} = \widehat {ABE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AE)$, suy ra $\widehat {ABE} = \widehat {BME}{\rm{.\;}}$

Vì $\Delta OBE$ cân tại $O$ $\left( {OB = OE} \right)$ nên $\widehat {OBE} = \widehat {OEB}.$

Suy ra $\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {BOE}}}{2}.$

Vì \[MB\] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[B\] nên $OB \bot MB$ hay $\widehat {OBM} = 90^\circ .$

Suy ra \[\widehat {MBE} = 90^\circ - \widehat {OBE}\]\[ = 90^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat {BOE}}}{2}} \right) = \frac{{\widehat {BOE}}}{2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Mặt khác nên \[\widehat {BAE} = \frac{{\widehat {BOE}}}{2}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra $\widehat {BAE} = \widehat {MBE}$.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta BME$ có: $ABE = BME\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$; $\widehat {BAE} = \widehat {MBE}\,\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$.

Do đó . Suy ra $\widehat {AEB} = \widehat {BEM}$ (hai góc tương ứng) (đpcm).

3) Chứng minh $ME \cdot MC = MH \cdot MO$ và ba điểm $C,\,\,H,\,\,I$ thẳng hàng.

Chứng minh $ME \cdot MC = MH \cdot MO$.

Vì $\Delta OAE$ cân tại $O$ $\left( {OA = OE} \right)$ nên $\widehat {OAE} = \widehat {OEA}.$

Suy ra $\widehat {OAE} = \widehat {OEA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {AOE}}}{2}.$

Vì \[MA\] là tiếp tuyến với đường tròn \[\left( O \right)\] tại điểm \[A\] nên $OA \bot MA$ hay $\widehat {OAM} = 90^\circ .$

Suy ra \[\widehat {MAE} = 90^\circ - \widehat {OAE}\]\[ = 90^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat {AOE}}}{2}} \right) = \frac{{\widehat {AOE}}}{2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Mặt khác nên \[\widehat {ACM} = \frac{{\widehat {AOE}}}{2}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra $\widehat {MAE} = \widehat {ACM}$.

Xét $\Delta AME$ và $\Delta CMA$ có: $\widehat {AME}$ chung; $\widehat {MAE} = \widehat {ACM}$ (cmt)

Do đó . Suy ra $\frac{{MA}}{{ME}} = \frac{{MC}}{{MA}}$ hay $M{A^2} = ME \cdot MC.\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Vi $MA,\,\,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $MA = MB.$

Lại có $OA = OB$ nên $MO$ là đường trung trực của $AB$ nên $AB \bot MO$ tại \[H.\]

Xét \[\Delta OAM\] vuông tại $A$ có đường cao $AH$, ta có $M{A^2} = MH \cdot MO.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $ME \cdot MC = MH \cdot MO$ (đpcm).

Chứng minh ba điểm $C,\,\,H,\,\,I$ thẳng hàng.

Do $I$ lả điểm đối xứng của $E$ qua $OM$ nên $OM$ là đường trung trực của $EI$ nên $OE = OI,$ suy ra $I \in \left( {O\,;R} \right).$

Do $ME \cdot MC = MH \cdot MO$ nên $\frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}$.

Xét $\Delta MEH$ và $\Delta MOC$ có $\widehat {OME}$ chung; $\frac{{ME}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}$ (cmt).

Do đó suy ra $\widehat {MHE} = \widehat {MCO}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {MHE} + \widehat {EHO} = 180^\circ $ nên $\widehat {MCO} + \widehat {EHO} = 180^\circ .$

Mà \[\widehat {MCO}\] và \[\widehat {EHO}\] ở vị trí đối diện nên tứ giác $EHOC$ nội tiếp đường tròn.

Suy ra $\widehat {EHC} = \widehat {EOC}$ (cùng chắn cung $EC\,).$

Ta có $\widehat {IHE} = 2\widehat {MHE}$ (tính chất đường trung trực)

Mà $\widehat {MHE} = \widehat {MCO}$ nên

$\widehat {IHE} + \widehat {EHC} = 2\widehat {MHE} + \widehat {EOC}$$ = 2\widehat {MCO} + \widehat {EOC} = \widehat {MCO} + \widehat {CEO} + \widehat {EOC} = 180^\circ $.

Vậy ba điểm $C,\,\,H,\,\,I$ thẳng hàng.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Sở GD & ĐT Khánh Hòa năm 2024-2025 có đáp án

Cho đường tròn O và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn