Cho đường tròn (O) và điểm I ở ngoài đường tròn. Gọi M là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính IO và đường tròn (O). Chứng minh đường thẳng IM là tiếp tuyến của (O) tại M.

\(M\) là giao điểm của đường tròn tâm \(K\) đường kính \(IO\) và đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(M\) thuộc \(\left( {K;\frac{{IO}}{2}} \right)\), ta có: \(KM = KI = KO{\rm{\;}}\) hay \(KM = \frac{{IO}}{2}\) (*).

Xét tam giác \[IMO\] có \(K\) là trung điém của \[IO\] nên \(KM\) là đường trung tuyến và (*) nên tam giác \[IMO\] vuông tại \(M\) hay \(IM \bot OM\) \[\left( 1 \right)\]

Mặt khác \(M \in \left( O \right)\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] \( \Rightarrow \) đường thẳng \(IM\) là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\] tại \(M\).