Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O), từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt

13/14

(2,0 điểm) Cho đường tròn $\left( O \right)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$, từ điểm $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM,AN$ với đường tròn $\left( O \right)$ ($M,N$ là các tiếp điểm). Đường thẳng $AO$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại hai điểm phân biệt $P$ và $Q$ ($P$ nằm giữa $A$ và $Q$).

a) Chứng minh bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $MN$ với $OA,I$ là trung điểm của $AH$. Đường thẳng $MI$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm $J$ ($J$ khác $M$). Chứng minh $AP.AQ = A{M^2}$ và $HJ$ vuông góc với $MI$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Do đó (c.g.c), nên là \(\widehat {IJH} = (ảnh 1)$

a) Theo tính chất tiếp tuyến thì ta có $\widehat {AMO} = \widehat {ANO} = 90^\circ $ nên hai điểm $M,\,\,N$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AO.$

Như vậy tứ giác $AMON$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AO.$

Vậy bốn điểm $A,M,O,N$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AP.AQ = A{M^2}$:

Xét $\Delta PAM$ và $\Delta MAQ$ có \[\widehat {AMQ}\] là góc chung và \[\widehat {AMP} = \widehat {AQM}\]

Suy ra $Δ P A M ∽ Δ M A Q$ (g.g), nên $\frac{{AM}}{{AQ}} = \frac{{AP}}{{AM}}$, hay $A{M^2} = AP.AQ$.

*) Chứng minh $HJ$ vuông góc với $MI$:

Xét $\Delta OMA$ và $\Delta OHM$ có $\widehat {MOH}$ là góc chung và $\widehat {OHM} = \widehat {OMA} = 90^\circ $

Suy ra $Δ O M A ∽ Δ O H M$ (g.g).

Dẫn đến $\frac{{OH}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OA}}$ hay $\frac{{OH}}{{OP}} = \frac{{OP}}{{OA}} = \frac{{OP - OH}}{{OA - OP}} = \frac{{OP + OH}}{{OA + OP}} = \frac{{OH + OQ}}{{OA + OQ}}$ tức là $\frac{{HP}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{AQ}}\quad \left( 1 \right).$

Ta sẽ chứng minh $I{H^2} = IP.IQ$.

Thật vậy: (1) tương đương $\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{HQ}}{{HP}}$.

Mặt khác: $\frac{{AQ}}{{AP}} = \frac{{IA + IQ}}{{IP + IA}};\quad \frac{{HQ}}{{HP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.$

Mà $IA = IH$ nên $\frac{{IQ + IA}}{{IA + IP}} = \frac{{IQ - IH}}{{IH - IP}}.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta suy ra được $\frac{{IH}}{{IP}} = \frac{{IQ}}{{IH}}$, nên $I{H^2} = IP.IQ$.

Xét $\Delta IPJ$ và $\Delta IMQ$ có $\widehat {MIQ}$ là góc chung và $\widehat {IPJ} = \widehat {IMQ}$ (Do tứ giác $PJMQ$ nội tiếp đường tròn)

Suy ra $Δ I P J ∽ Δ I M Q$ (g.g), dẫn đến $\frac{{IP}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IQ}}$, hay $IP.IQ = IM.IJ$.

Từ đây suy ra $I{H^2} = IM.IJ$, tương đương với $\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}$

Xét $\Delta IHJ$ và $\Delta IMH$ có $\widehat {MIQ}$ là góc chung và $\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{IJ}}{{IH}}$

Do đó $Δ I H J ∽ Δ I M H$ (c.g.c), nên là $\widehat {IJH} = \widehat {IHM} = 90^\circ $, hay $HJ \bot MI$.