Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát

a) Xét tam giác ADB và tam giác ABE có:

\(\widehat A\)chung

\(\widehat {ABD} = \,\widehat {AEB}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, đều bằng \(\frac{1}{2}\)cung BD)

Suy ra: ∆ADB ᔕ ∆ABE (g.g)

⇒\(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{AB}}\)

b) Theo câu a ta có: ∆ADB ᔕ ∆ABE (g.g)

⇒\(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{AB}}{{AE}}\)(1)

Xét ∆ADC và ∆ACE có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {ACD} = \,\widehat {AEC}\)(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, đều bằng \(\frac{1}{2}\)cung BD)

Suy ra: ∆ADC ᔕ ∆ACE (g.g)

⇒\(\frac{{CD}}{{CE}} = \frac{{AC}}{{AE}}\)

Mà AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\frac{{BD}}{{BE}} = \frac{{CD}}{{CE}}\).