Cho đường tròn ( O) và dây BC không qua tâm. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho

7/8

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và dây \[BC\] không qua tâm. Điểm \[A\] di động trên cung lớn \[BC\] sao cho \(\Delta ABC\) là tam giác nhọn. Các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) của tam giác \[ABC\] cắt nhau ở \(H.\) Chứng minh rằng:

1) \[BCEF\] là tứ giác nội tiếp.

2) \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\).

3) \[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[DEF.\]

4) Đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[EF\] luôn đi qua một điểm cố định.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Vẽ đường kính \[AM\] của đường tròn \(\left( O \right).\)

Vì tứ giác \[BCEF\] nội tiếp nên \(\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp) mà \(\widehat {AEF} + \widehat {FEC} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {FBC}.\)

Lại có \(\widehat {FBC} = \widehat {AMC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AC\] của đường tròn \(\left. {\left( O \right)} \right).\)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AMC}\)

Mà \(\widehat {AMC} + \widehat {MAC} = 90^\circ \) (do \(\widehat {ACM} = 90^\circ \) vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left. {\left( O \right)} \right).\)

Suy ra \(\widehat {AEF} + \widehat {MAC} = 90^\circ .\) Do đó \(AM \bot EF.\)

Vì \[AM\] là đường kính nên \[AM\] đi qua \[O\] là một điểm cố định.

Vậy đường thẳng đi qua \[A\] và vuông góc với \[EF\] luôn đi qua một điểm cố định