Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, khi đó MB=MC=12BC.   1

Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI đồng thời là đường cao của tam giác, hay OC ⊥ AB tại I.

Ta có ∆BIC vuông tại I có IM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên IM=12BC.   2

Ta có ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với canh huyền BC nên DM=12BC.   3

Từ (1), (2) và (3), suy ra IM=DM=CM=BM=BC2.

Do đó bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

b) Đường tròn (C) có hai tiếp tuyến BI, BD cắt nhau tại B nên CB là tia phân giác của góc ICD, hay BCI^=BCD^.

Mặt khác, ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên OBC^=OCB^ hay  OBC^=BCI^.

Suy ra OBC^=BCD^, mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OB // CD.

Lại có BD ⊥ CD nên BD ⊥ OB tại B, mà B nằm trên đường tròn (O)

Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).