Cho đường tròn ( O ) , từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn ( O ) này ta kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với B , C ∈ ( O ) , cho biết ˆ BAC = 60 độ
a)Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\)
Hơn nữa, ta có \(\widehat {BAC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) là tam giác đều.
Vì \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến nên \(AB \bot OB\,;\,\,AC \bot OC.\)
Xét tứ giác \(ABOC\) có \[\widehat {BAC} + \widehat {ABO} + \widehat {ACO} + \widehat {BOC} = 360^\circ \].
Suy ra \[\widehat {BOC} = 360^\circ - \widehat {BAC} - \widehat {ABO} - \widehat {ACO} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\]
Do đó sđ BC⏜ (nhỏ) \[ = \widehat {BOC} = 120^\circ \] suy ra sđ BC⏜ (lớn) \[ = 360^\circ - \] (nhỏ)\[ = 240^\circ .\]
Vậy tam giác \(ABC\) đều; \[\widehat {BOC} = 120^\circ \,;\] sđ BC⏜ (lớn) \[ = 240^\circ .\]
b)Tam giác \(ABC\) cân, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì \(AO\) là phân giác \(\widehat {BAC}\)
nên \(AO\) là đường cao, tức là AO⊥BC.(1)
Ta có \(OB = OC = OE = \frac{1}{2}CE,\) theo tính chất trung tuyến tam giác vuông thì tam giác \(BCE\) vuông tại \(B\) tức là BE⊥BC.(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BE\,{\rm{//}}\,AO.\)
Dễ thấy \(\widehat {BOM} = 60^\circ \) và \(OB = OM\) nên \(\Delta OBM\) đều, suy ra MO=MO=BO.(3)
Hơn nữa, dễ thấy \(\widehat {BOE} = 180^\circ - \widehat {BOC} = 60^\circ \) và \(OB = OE\) nên \(\Delta OBE\) đều hay OE=OB=BE.(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(MB = BE = EO = OM\) nên tứ giác \(MBEO\) là hình thoi, suy ra \(ME \bot OB.\)
Mặt khác, \(OB \bot AB\) nên \(ME\,{\rm{//}}\,AB.\) Kết hợp \(BE\,{\rm{//}}\,MA\) (vì \(BE\,{\rm{//}}\,AO\,).\)
Do đó \(ABEM\) là hình bình hành nên \(AE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\)
Vậy \(BE\,{\rm{//}}\,AO\) và \(AE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(BM.\)