Cho đường tròn ( O ; R ) và một điểm A cách O một khoảng bằng 2 R . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C là các tiếp điểm).

20/21

(1,5 điểm)Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $A$ cách $O$ một khoảng bằng $2R$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ với đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm).

a) Chứng minh $OA$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

b) Đường thẳng vuông góc với $OC$ tại $O$ cắt $AB$ tại $M$. Đường thẳng vuông góc với $OB$ tại $O$ cắt $AC$ tại $N$. Chứng minh rằng tứ giác $AMON$ là hình thoi.

c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,\,\,OC$ và cung lớn $BC.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

a) Ta có: hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC = R$

Suy ra $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

b) Ta có: $AB \bot OB$ (do $AB$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B)$ và $ON \bot OB$

Suy ra $ON\,{\rm{//}}\,AB$ hay $ON\,{\rm{//}}\,AM$. (1)

$Cho đường tròn \(\left( {O;R} \righ (ảnh 1)$

Tương tự, ta có: $OM\,{\rm{//}}\,AC$ hay $OM\,{\rm{//}}\,AN$. (2)

Xét tứ giác $AMON$ có $ON\,{\rm{//}}\,AM$ và $OM\,{\rm{//}}\,AN$ nên $AMON$ là hình bình hành.

Ta có: hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ cắt nhau tại $A$ nên $AO$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), hay $AO$ là tia phân giác của $\widehat {MAN}$ (3)

Do đó hình bình hành $AMON$ là hình thoi.

c) Ta có: $\sin \widehat {OAC} = \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},$ suy ra $\widehat {OAC} = 30^\circ $.

Suy ra $\widehat {MON} = \widehat {MAN} = 2 \cdot \widehat {OAC} = 60^\circ $.

Ta có $\widehat {BOM} + \widehat {MON} = \widehat {BON} = 90^\circ $ suy ra \[\widehat {BOM} = 90^\circ - \widehat {MON} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \].

Suy ra $\widehat {BOC} = \widehat {BOM} + \widehat {MOC} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ .$

Mà $\widehat {BOC}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $BC$ nên

Do đó số đo cung lớn $BC$ là:

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,\,\,OC$ và cung lớn $BC$ là

$S = \frac{{240\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}$ (đơn vị diện tích).