a, Ta có: ∠ABO = 90^o(Do BA là tiếp tuyến của (O)) nên B thuộc đường tròn đường kính OA

Tương tự ∠ACO = 90^onên C thuộc đường tròn đường kính OA

Do I là trung điểm của MN nên OI ⊥ MN

=> ∠AIO = 90^o => I thuộc đường tròn đường kính OA

Vậy 5 điểm O, A , B, C, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA

b, Xét ΔABM và ΔANB có:

∠BAN là góc chung

∠ABM = ∠ANB (2 góc cùng chắn ⏜BM)

=> ΔABM ∼ ΔANB

=> ABAN = AMAB => AM.AN = AB²

Xét tam giác OAB vuông tại O có:

AB² = OA² – OB² = (3R)² – R² = 8R²

c, Gọi độ dài AM là x

=> AN = x + R3

Theo câu b ta có:

AM.AN = 8R²

=> x(x + R3) = 8R² ⇔ x² + xR3 – 8R² = 0

Δ = (R3)² – 4.( –8R² ) = 35R² => △=R35

Vậy

=> AM.AN = AB²

d, Ta có:

AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

và OB = OC

=> OA là đường trung trực của BC

Do đó OA ⊥ BC tại H

Xét ΔOHK và Δ OIA có:

∠AOK là góc chung

∠OHK = ∠OIA = 90^o

=> ΔOHK ∼ ΔOIA

Mặt khác, xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao

=> OH.OA = OB² = R² (2)

Từ (1) và (2) => OK.OI = R² = OM²

=> OMOK = OIOM

Xét tam giác OIM và tam giác OMK có:

∠MOK là góc chung

OMOK = OIOM

=> ΔOIM ∼ ΔOMK (c.g.c)

=> ∠OIM = ∠OMK = 90^o Hay OM ⊥ MK

Vậy MK là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh tương tự ta được NK là tiếp tuyến của (O).

Cho đường tròn (O, R) và một dây cung AB bằng R. Khi đó