Cho đường tròn ( {O;R} và điểm $D$ nằm ngoài đường tròn.

5/6

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $D$ nằm ngoài đường tròn. Qua $D$ kẻ đường thẳng $a$ vuông góc với $OD$ tại $D$. Lấy điểm $A$ bất kì trên đường thẳng $a$. Từ điểm $A$ kẻ tiếp tuyến $AE$ với đường tròn $\left( O \right)$ ($E$ là tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm $D,A,E,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Trên đường tròn $\left( O \right)$ lấy điểm $F$ sao cho $OA$ là tia phân giác của \[\widehat {EOF}\]. Dây \[EF\] cắt \[OD,OA\] lần lượt tại \[K,H\]. Chứng minh rằng \[AF\] là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ và \[OK.OD = OH.OA\]

c) Kẻ đường kính \[EB\] của đường tròn $\left( O \right)$. Kẻ \[FC \bot EB\] tại \[C\], \[AB\] cắt \[FC\] tại \[I\]. Chứng minh rằng \[I\] là trung điểm của \[FC\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn ( {O;R} và điểm $D$ nằm ngoài đường tròn. (ảnh 1)$

a) Vì \[AD \bot DO\] (gt) nên \[\widehat {ADO} = 90^\circ \], khi đó \[\Delta ADO\] vuông tại \[D\]

Vì \[\Delta ADO\] vuông tại \[D\] nên ba điểm \[A,D,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)

Vì \[AE\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên \[AE \bot OE\], do đó \[\widehat {AEO} = 90^\circ \], khi đó \[\Delta AEO\] vuông tại \[E\]

Vì \[\Delta AEO\] vuông tại \[E\] nên ba điểm \[A,E,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (2)

Từ (1), (2) suy ra bốn điểm $D,A,E,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Xét \[\Delta AEO\] và \[\Delta AFO\] có:

\[EO = FO\left( { = R} \right)\]

\[\widehat {EOA} = \widehat {FOA}\] (gt)

\[AO\] chung

Do đó \[\Delta AEO = \Delta AFO\] (c.g.c)

Suy ra \[\widehat {AFO} = \widehat {AEO}\] (hai góc tương ứng)

Mà \[\widehat {AEO} = 90^\circ \] nên \[\widehat {AFO} = 90^\circ \]

Xét \[\left( O \right)\] có \[AF \bot FO\] tại \[F \in \left( O \right)\] nên \[AF\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] tại tiếp điểm $F$.

Vì \[OE = OF\] nên \[O\] thuộc đường trung trực của \[FE\]

Vì \[AF = AE\]nên \[A\] thuộc đường trung trực của \[FE\]

Do đó \[AO\] là đường trung trực \[FE\].

Suy ra \[AO \bot FE\] tại \[H\]

Xét \[\Delta OHK\] và \[\Delta ODA\] có:

\[\widehat {AOD}\] chung

\[\widehat {OHK} = \widehat {ODA} = 90^\circ \]

Do đó (g.g)

Suy ra \[\frac{{OK}}{{OA}} = \frac{{OH}}{{OD}}\], khi đó \[OK.OD = OH.OA\]

c) Gọi $M$ là giao điểm của $BF;AE$.

$\Delta BFE$ có $OB = OE = FO = \frac{{BE}}{2}$ nên $\Delta BFE$ vuông tại $F$.

Suy ra $BM \bot FE$ mà \[AO \bot FE\] nên $AO\,{\rm{//}}\,BM$

$\Delta BEM$ có $AO\,{\rm{//}}\,BM$ và $O$ là trung điểm của $BE$ nên $A$ là trung điểm của $EM$ hay $AM = AE$

Có $AE \bot BE;FC \bot BE \Rightarrow AE\,{\rm{//}}\,FC$

Vì $AE\,{\rm{//}}\,FC$ nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{IC}}{{AE}} = \frac{{BI}}{{BA}}$ và \[\frac{{FI}}{{AM}} = \frac{{BI}}{{BA}}\]

Nên $\frac{{IC}}{{AE}} = \frac{{FI}}{{AM}}$ mà $AM = AE$ nên $IC = FI$ hay \[I\] là trung điểm của \[FC\].

Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Văn Quán (Hà Nội) năm 2025-2026 Tháng 12 có đáp án

Cho đường tròn ( {O;R} và điểm \(D\) nằm ngoài đường tròn.