Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O).

a) Do BM, BN là tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại B nên BM ⊥ OM và BO là tia phân giác của góc MBN.

Do A là trung điểm của OB, mà A thuộc đường tròn (O) nên OA = AB = R, hay OB = 2OA = 2R.

Vì tam giác MBO vuông tại M nên sinOBM^=OMOB=12 Suy ra  OBM^=30°

Do đó MBN^=2OBM^=2×30°=60° (do BO là tia phân giác của góc MBN).

Xét ∆OBM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có: OB² = OM² + BM²

Suy ra BM=OB2-OM2=(2R)2-R2 =3R2 =R3

b) Xét tam giác OBM có:OBM^+BOM^+BMO^=180°

Suy ra BOM^=180°-OBM^-BMO^=180°-30°-90°=60°

Mà OM = OA = R, suy ra tam giác OAM là tam giác đều, nên OM = OA = AM. (1)

Tương tự,ta chứng minh được tam giác OAN là tam giác đều.

Suy ra OA = ON = AN. (2)

Từ (1), (2) suy ra AM=OM=ON=AN.

Do đó tứ giác AMON là hình thoi.

c) Do tứ giác AMON là hình thoi nên hai đường chéo MN và OA cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường, suy ra OH=OA2=R2