Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

12/20

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ của đường tròn $\left( O \right)$ ($B,C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC.$ Từ $B$ vẽ đường kính $BD$ của $\left( O \right)$, đường thẳng $AD$ cắt $\left( O \right)$ tại $E$ ($E$ khác \[D\]).

\[OA \bot BC\].

ĐúngSai

\[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].

ĐúngSai

\[A{B^2} = AE \cdot AD\].

ĐúngSai

Với $OA = \left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R$ thì diện tích quạt giới hạn bởi bán kính $OC,\,\,OD$ và cung nhỏ $CD$là $\frac{{\pi {R^2}}}{6}$.

ĐúngSai

Giải thích

$a) Đúng. Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] nên \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) . (ảnh 1)$

a) Đúng.

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có: \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] nên \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra \[A\] thuộc đường trung trực của \[BC\].

Mà \[OB = OC = R\] nên \[O\] thuộc đường trung trực của \[BC\]

Do đó \[OA\] là đường trung trực của \[BC\] nên \[OA \bot BC\] tại \[H\].

b) Đúng.

Xét $\Delta OBE$ cân tại $O$ (do $OB = OE = R)$ nên

$\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BOE}.$

Xét $\Delta OED$ cân tại $O$ (do $OD = OE = R)$ nên$2\widehat {ODE} = 180^\circ - \widehat {EOD} = \widehat {BOE}$.

Suy ra $2\widehat {ODE} = \widehat {BOE}$ hay $\widehat {ODE} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}$. Do đó, $\widehat {BDA} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}.$

Suy ra $\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {BDA}.$

Mà $\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {ABE}$ nên \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].

c) Đúng.

Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta ADB\] có: \[\widehat {BAD}\] chung, \[\widehat {ABE} = \widehat {ADB}\].

Do đó $Δ A B E ∽ Δ A D B$ (g.g)

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}\] nên \[A{B^2} = AE \cdot AD\].

d) Sai.

Xét $\Delta AOB$ vuông tại $B,$ có:

$\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4},$ suy ra $\widehat {AOB} = 75^\circ .$

Do \[AB,AC\] lần lượt là tiếp tuyến tại \[B,C\] của đường tròn $\left( O \right)$ nên \[OA\] là tia tiếp tuyến của $\widehat {BOC}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ .$

Do đó $\widehat {COD} = 180^\circ - \widehat {BOC} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $ nên

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,\,\,OD$ và cung nhỏ $CD$ là:

$S = \frac{{\pi {R^2} \cdot 30}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{12}}$ (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,\,\,OD$ và cung nhỏ $CD$ là $\frac{{\pi {R^2}}}{{12}}$(đvdt).