Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định (AB < 2R). Từ điểm C bất kì trên tia đối của tia AB, kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D nằm

a) Ta có OI ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây đó)

⇒CIO^=90°

Ta cũng có CDO^=90° (CD là tiếp tuyến của (O))

Xét tứ giác CDOIcó CIO^+CDO^=90°+90°=180°

Do đó tứ giác CDOI nội tiếp.

b) Xét ∆CDA và ∆CBD có:

DCB^ là góc chung

DBA^=CDA^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DA)

Suy ra ∆CDA  ∆CBD (g.g)

Từ đó suy ra CDCB=CACD⇔CD2=CA.CB (điều phải chứng minh)

c) Ta có OI⊥AB (cmt)AB//EK (gt)⇒OI⊥EK

Xét tam giác OEK có OE = OK = R =>  Tam giác OEK cân tại O

Tam giác OEK cân tại O có OI là đường cao (OI ⊥ EK).

Nên OI là đường trung trực của EK.

Suy ra IE = IK.

Do đó tam giác IEK cân tại I.

Ta có:

CDE^=DKE^ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung DE)

DKE^=IEK^ (tam giác IEK cân tại I)

CIE^=IEK^ (hai góc so le trong)

Suy ra CED^=CID^ suy ra tứ giác DIEC nội tiếp.

Mà tứ giác CDOI nội tiếp.

Suy ra D, O, I, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Xét đường tròn ngoại tiếp trên ta có:

CEO^=CIO^=90°(góc nội tiếp cùng chắn cung CO)

Suy ta CE ⊥ OE nên CE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy F thuộc đoạn OI sao cho IF = OI.

Ta có: A, B cố định suy ra I là trung điểm AB cố định suy ra OI cố định.

Suy ra F cố định.

Xét tam giác DAB có G là trọng tâm nên ta có: DG=23DI

⇒IG=DI−DG=DI1−23=13DI

Xét tam giác IDO có: IF=13IO;  IG=13ID.

⇒GF=13DO=13R.

Ta có F cố định và FG =13R cố định.

Suy ra G thuộc F; 13R cố định khi C di chuyển trên tia đối tia AB