Cho đường tròn ( O ; R ) và dây A B = 1 , 2 R . Vẽ một tiếp tuyến song song với A B , cắt các tia O A , O B lần lượt tại E và F . Diện tích tam giác O E F theo R là

Đáp án đúng là: A

Giả sử tiếp tuyến \[EF\] tiếp xúc với đường tròn \[\left( O \right)\] tại \[H.\] Khi đó \[OH \bot EF.\]

Gọi \[I\] là giao điểm của \[OH\] và \[AB.\]

Vì \[EF\,{\rm{//}}\,AB\] nên \[OH \bot AB.\]

Vì tam giác \[OAB\] cân tại \[O\] (do \[OA = OB = R\]) nên \[OI\] vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác. Do đó \[I\] là trung điểm \[AB.\]

Vì vậy \[IA = IB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{1,2R}}{2} = 0,6R.\]

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \[OAI\] vuông tại \[I,\] ta được: \[O{A^2} = O{I^2} + A{I^2}.\]

Suy ra \[O{I^2} = O{A^2} - A{I^2} = {R^2} - {\left( {0,6R} \right)^2} = 0,64{R^2}.\]

Do đó \[OI = 0,8R.\]

Vì \[AI\,{\rm{//}}\,EH\] nên áp dụng định lí Thales, ta có \[\frac{{AI}}{{EH}} = \frac{{OI}}{{OH}}.\]

Suy ra \[\frac{{0,6R}}{{EH}} = \frac{{0,8R}}{R}.\]

Do đó \[EH = 0,75R.\]

Vì \[AB\,{\rm{//}}\,EF\] nên \[\widehat {OAB} = \widehat {OEF}\] (cặp góc đồng vị).

Chứng minh tương tự, ta được \[\widehat {OBA} = \widehat {OFE}.\]

Mà \[\widehat {OBA} = \widehat {OAB}\] (do tam giác \[OAB\] cân tại \[O\]).

Do đó \[\widehat {OEF} = \widehat {OFE}.\] Vì vậy tam giác \[OEF\] cân tại \[O.\]

Tam giác \[OEF\] cân tại \[O\] có \[OH\] là đường cao nên \[OH\] cũng là đường trung tuyến của tam giác.

Do đó \[H\] là trung điểm \[EF.\]

Vì vậy \[EF = 2EH = 2 \cdot 0,75R = 1,5R.\]

Diện tích tam giác \[OEF\] là: \[{S_{OEF}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot EF = \frac{1}{2} \cdot R \cdot 1,5R = 0,75{R^2}.\]

Vậy ta chọn phương án A.