Cho đường tròn (O;R). Lấy các điểm A,B,C,D,E,F trên đường tròn (O;R) sao cho số đo các cung bằng nhau. Đa giác ABCDEF có là đa giác đều không?

Ta có

.

Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có \(\widehat {AOB} = 60^\circ \) (vì

Suy ra \(\Delta AOB\) đều nên \(AB = R\) và \(\widehat {{\rm{ABO}}} = 60^\circ \).

Tương tự \(\Delta BOC\) đều nên \(\widehat {OBC} = 60^\circ \) và \(BC = R\).

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ABO} + \widehat {OBC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \) và \(AB = BC = R.\)

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác \(ABCD\) có:

\(AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.\;\)

Và các góc \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEF} = \widehat {EFA} = \widehat {FAB} = 120^\circ \).

Do đó \(ABCDEF\) là một đa giác đều.