Cho đường tròn ( O ; R ) . Lấy các điểm A , B , C , D , E , F trên đường tròn ( O ; R ) sao cho số đo các cung bằng nhau. Đa giác ABCDEF có là đa giác đều không?

Ta có sdAB⏜=sdBC⏜=sd CD⏜=sd DE⏜=sdEF⏜=sd FA⏜=360°6=60°.

Xét tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) có AOB^=60° (vì sdAB⏜=60°)

 đều nên \(AB = R\) và \(\widehat {ABO} = {60^^\circ }\) (1)

Tương tự với tam giác BOC đều ⇒OBC^=60° và \({\rm{BC}} = {\rm{R}}\) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ABC^=ABO^+OBC^=60°+60°=120° và \(AB = BC = R\).

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác \(ABCD\) có:

\(AB = BC = CD = DE = EF = FA = R.\)

Và các góc \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{CDE}}} = \widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {{\rm{EFA}}} = \widehat {{\rm{FAB}}} = 120^\circ \). Do đó \[ABCDEF\] là một đa giác đều.