Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, C là một điểm bất kì nằm giữa A và B. Vẽ đường tròn tâm I, đường kính CA; đường tròn tâm K, đường kính CB. a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (I)

a) Đường tròn (I) và đường tròn (K) tiếp xúc ngoài tại C (vì IK = IC + CK)

b) Vù AC là đường kính của (I) nên tam giác AMC vuông tại M.

Tương tự ta có ∆BNC vuông tại N, ∆AMC vuông tại M.

Suy ra tứ giác DMCN là hình chữ nhật.

Gọi E là giao điểm của MN và DC. Ta có: ∆EMC, ∆IMC cân.

Suy ra \(\widehat {EMC} = \widehat {ECM};\widehat {IMC} = \widehat {ICM}\).

Mà \(\widehat {ECM} + \widehat {ICM} = 90^\circ \) do đó \(\widehat {IMN} = 90^\circ \) suy ra MN ⊥ IM.

Tương tự có MN ⊥ NK suy ra MN là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và (K).

c) Vì DMCN là hình chữ nhật nên MN = CD suy ra MN có độ dài lớn nhất khi CD có độ dài lớn nhất.

Ta có CD ≤ OD = R (khôn đổi), dấu “=” xảy ra khi C trùng O.

Vậy khi C trùng O thì MN có độ dài lớn nhất là R.