Cho đường tròn (O; R), có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau tại O. Gọi I là trung điểm của OB. Tia CI cắt đường tròn (O) tại E. Gọi H là giao điểm của AE và CD. a) Chứng minh bốn đi

7/9

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$, có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau tại $O$. Gọi $I$ là trung điểm của $OB$. Tia $CI$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $AE$ và $CD$.

a) Chứng minh bốn điểm $O,\,\,I,\,\,E,\,\,D$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: $AH.AE = 2{R^2}$ và $OA = 3OH$.

c) Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $BD$, $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BE$. Chứng minh ba điểm $Q$, $K$, $I$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho đường tròn \(\left( {O;R} \rig (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta IOD$ có $\widehat {IOD} = 90^\circ $ (giả thiết) nên 3 điểm $I,\,\,O,\,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ID$ (1).

Xét $\Delta IED$ có $\widehat {IED} = \widehat {CED} = 90^\circ $(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên 3 điểm $I,\,\,E,\,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ID$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $O,\,\,I,\,\,E,\,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ID$.

Vậy tứ giác $OIED$ nội tiếp đường tròn đường kính $ID$ với tâm là trung điểm $ID$.

b) * Ta có $\widehat {AEB} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $AB$).

Xét $\Delta AOH$ và $\Delta AEB$ có $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAO}\,\,{\rm{chung}}\\\widehat {AOH} = \widehat {AEB} = 90^\circ \end{array} \right.$ nên $\Delta AOH$ đồng dạng $\Delta AEB$.

Suy ra $\frac{{AO}}{{AE}} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{OH}}{{EB}} \Rightarrow AH.AE = AO.AB = R.2R = 2{R^2}$ (điều phải chứng minh).

Ta có $\widehat {AEC} = \widehat {BEC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau) nên $IE$ là phân giác $\widehat {AEB}$.

Mặt khác $\widehat {AEB} = 90^\circ $ do $\widehat {AEB}$ chắn nửa đường tròn đường kính $AB$. Khi đó $\widehat {AEC} = 45^\circ $ (4).

Gọi $OF$ là tia đối của $OE$.

Ta có $\widehat {AOF} = 2\widehat {AEF}$; $\widehat {COF} = 2\widehat {CEF}$ nên $\widehat {AOC} = 2\widehat {AEC}$.

Trong $\Delta OAH$ vuông tại $O$ ta có $\tan \widehat {OAH} = \frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{EB}}{{AE}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow OA = 3OH$

c) Ta có $K$ là trung điểm $BD$.

Mặt khác $H = AK \cap OD$ nên $H$ là trọng tâm $\Delta ABD$. Khi đó ba điểm $A,\,\,H,\,\,K$ thẳng hàng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BQ\\BD \bot AQ\end{array} \right.$ nên $K$ là trực tâm $\Delta ABQ$. Suy ra $QK \bot BD$.

Do $IK\,//\,OD \Rightarrow IK \bot AB$. Suy ra ba điểm $Q$, $K$, $I$ thẳng hàng.