Cho đường tròn (O,R) cố định. Từ M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp điểm)

39/189

Cho đường tròn (O,R) cố định. Từ M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM, AB.

a) Chứng minh: OM vuông góc với AB và OH.OM = R².

b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn (O) (N nằm giữa M,P), gọi I là trung điểm NP (I khác O). Chứng minh: A, M, O, I thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó.

c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt MA, MB theo thứ tự C,D. Biết MA = 5cm, tính chu vi tam giác MCD.

d) Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc với OM, cắt MA, MB lần lượt tại E, F. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Media VietJack

a) Ta có: MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Suy ra: MO ⊥ AB tại H.

Ta có: MA ⊥ AO, AH ⊥ MO

⇒ OH.OM = OA² = R²

b) Do I là trung điểm NP ⇒ OI ⊥ NP

Mà MA ⊥ OA, MB ⊥ OB

⇒ M, A, I, O, B ∈đường tròn đường kính OM

⇒Tâm của đường tròn là trung điểm MO

c) Ta có : CN, CA là tiếp tuyến của (O) ⇒ CN = CA

Tương tự:

DN = DB

⇒ PMCD = MC + CD + DM = MC + CN + ND + DM

= MC + AC + DB + DM = MA + MB = 2MA = 10.

d) Ta có :

S_MEF = 12.MO.EF

Mà OA ⊥ ME, MO ⊥ OE

⇒ 1OA2=1OM2+1OE2≥2OM.OE

⇒ OM.OE ≥ 2OA² = 2R²

⇒ S_MEF ≥ 12.2R2= R²

Dấu = xảy ra khi OE = OM ⇒ ΔOEM vuông cân tại O

⇒ OMA^=45°⇒ ΔAMO vuông cân tại A

⇒ MO = OA2 = R2