Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam

32/134

Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:

a) 5 điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) 3 điểm M, N, H thẳng hàng.

c) HA . HF = R² – OH².

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam (ảnh 1)

a) \(\widehat {AMO} = \widehat {AFO} = \widehat {ANO} = 90^\circ \)

⇒ A, M, F, N, O cùng thuộc một đường tròn

b) Gọi I là giao của MN và AO nên I là trung điểm của MN ⇒ AI.AO = AM²

Xét ∆AMH và ∆AFM có:

\(\widehat {MAH}\)chung

\(\widehat {AMH} = \widehat {AFM}\)

Nên ∆AMH ~ ∆AFM (g.g)

⇒ AH.AF = AM² = AI.AO

⇒ \(\widehat {AHI} = \widehat {AOF}\)

⇒ OFHI nội tiếp

⇒ M, N, H thẳng hàng

c) Từ câu a) ta có: HM.HN = HA.HF

Ta có: HM.HN = (IM – IH).(IH + IN)

= (IM – IH).(IH + IM)

= IM² – IH²

= OM² – OI² – (OH² – OI²)

= R²– OH²

Từ đó suy ra: HA.HF = R²– OH².